Bất đẳng thức tam giác là một kiến thức nền tảng và quan trọng trong chương trình Toán học lớp 7. Việc nắm vững công thức và các ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức và giải quyết các bài tập liên quan một cách hiệu quả. Bài viết này sẽ trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện về bất đẳng thức tam giác.
I. Công thức Bất đẳng thức tam giác
1. Phát biểu bất đẳng thức tam giác
Trong một tam giác bất kỳ, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Cho tam giác ABC với độ dài ba cạnh lần lượt là AB, BC, AC. Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có các bất đẳng thức sau:
- AB + BC > AC
- AC + BC > AB
- AB + AC > BC
Minh họa bất đẳng thức tam giác
2. Hệ quả của bất đẳng thức tam giác
Từ bất đẳng thức tam giác, ta suy ra một hệ quả quan trọng: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ luôn nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại. Điều này có nghĩa là độ dài cạnh lớn nhất nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại và lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.
Cụ thể, với tam giác ABC:
- |AB – BC| < AC < AB + BC
- |AC – BC| < AB < AC + BC
- |AB – AC| < BC < AB + AC
II. Ví dụ minh họa Bất đẳng thức tam giác
Dưới đây là một số ví dụ minh họa giúp hiểu rõ hơn về cách áp dụng bất đẳng thức tam giác trong giải toán.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB là 4 cm, cạnh BC là 7 cm. Hỏi độ dài cạnh AC có thể là 14 cm được không? Vì sao?
Hướng dẫn giải:
Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho cạnh AC, ta có:
AB + BC > AC
Thay số đo đã cho vào bất đẳng thức:
4 cm + 7 cm > AC
Hay AC < 11 cm.
Vì 14 cm lớn hơn 11 cm, nên độ dài cạnh AC không thể là 14 cm.
Ví dụ 2: Ba thành phố A, B, C được biểu diễn trên bản đồ như ba đỉnh của một tam giác. Biết khoảng cách giữa A và B là 20 km (AB = 20 km), khoảng cách giữa A và C là 50 km (AC = 50 km). Nếu đặt một máy phát sóng tín hiệu tại C có bán kính hoạt động là 30 km, hỏi liệu hai thành phố A và B có nhận được tín hiệu không? Giải thích tại sao.
Minh họa khoảng cách giữa ba thành phố
Hướng dẫn giải:
Xét tam giác ABC, ta áp dụng bất đẳng thức tam giác cho cạnh BC:
|AC – AB| < BC < AC + AB
Thay số đo đã cho vào bất đẳng thức:
|50 km – 20 km| < BC < 50 km + 20 km
30 km < BC < 70 km.
- Đối với thành phố B: Khoảng cách từ C đến B là BC. Theo kết quả trên, BC > 30 km. Vì bán kính hoạt động của máy phát sóng là 30 km, nên thành phố B sẽ không nhận được tín hiệu.
- Đối với thành phố A: Khoảng cách từ C đến A là AC = 50 km. Vì AC > 30 km, nên thành phố A cũng sẽ không nhận được tín hiệu.
Kết luận: Nếu máy phát sóng đặt tại C có bán kính hoạt động 30 km, thì cả hai thành phố A và B đều không nhận được tín hiệu.
III. Bài tập tự luyện Bất đẳng thức tam giác
Để củng cố kiến thức, học sinh có thể thực hành giải các bài tập sau:
Bài 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng độ dài cạnh AB lớn hơn hiệu độ dài của hai cạnh còn lại (AB > |BC – AC|).
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Hãy so sánh độ dài mỗi cạnh của tam giác với nửa chu vi của tam giác đó.
Bài 3: Bộ ba độ dài sau đây có thể là ba cạnh của một tam giác không?
a) 3 cm; 4 cm; 5 cm
b) 2 m; 3 m; 6 m
Bài 4: Cho tam giác MNP có góc M là góc tù. Lấy điểm D trên cạnh MN (D khác M, N) và điểm E trên cạnh MP (E khác M, P). Hãy so sánh độ dài đoạn thẳng DE với độ dài đoạn thẳng NP.
Bài 5: Cho tam giác MNP với hai cạnh MN = 1 cm và NP = 3 cm. Tìm độ dài cạnh MP, biết rằng độ dài này là một số nguyên (đơn vị cm). Tam giác MNP là loại tam giác gì?
Tài liệu tham khảo:
- Bộ giáo án, bài giảng PowerPoint, đề thi, sách luyện thi dành cho giáo viên và phụ huynh lớp 6 tại https://tailieugiaovien.com.vn/.
- Ứng dụng học tập VietJack trên Android và iOS.
