Bài viết này trình bày hai phương pháp chứng minh các công thức cộng và trừ cho hàm sin và cos, tập trung vào sự trực quan và mối liên hệ giữa đại số và hình học. Chúng ta sẽ khám phá cách sử dụng công thức Euler và một cách tiếp cận dựa trên hình học để hiểu rõ hơn về các công thức lượng giác cơ bản này.
I. Chứng minh bằng số phức và công thức Euler
Phương pháp này dựa trên việc sử dụng số phức và công thức Euler, một công cụ mạnh mẽ trong toán học để liên kết các hàm lượng giác với hàm mũ.
1. Khai thác quy tắc số mũ
Chúng ta bắt đầu với biểu thức $e^{i(theta+alpha)}$. Theo quy tắc số mũ cơ bản, ta có:
$e^{i(theta+alpha)} = e^{itheta + ialpha} = e^{itheta} cdot e^{ialpha}$
2. Khai triển và áp dụng công thức Euler
Sử dụng công thức Euler ($e^{ix} = cos(x) + isin(x)$), ta khai triển biểu thức trên:
$e^{itheta} cdot e^{ialpha} = (cos(theta) + isin(theta)) cdot (cos(alpha) + isin(alpha))$
Thực hiện phép nhân hai số phức:
$= cos(theta)cos(alpha) – sin(theta)sin(alpha) + i(cos(theta)sin(alpha) + sin(theta)cos(alpha))$
Đồng thời, ta cũng có khai triển của vế trái:
$e^{i(theta + alpha)} = cos(theta + alpha) + isin(theta + alpha)$
3. Thiết lập phương trình và suy ra công thức
Do $e^{i(theta+alpha)} = e^{itheta} cdot e^{ialpha}$, ta có thể đồng nhất hai vế:
$cos(theta)cos(alpha) – sin(theta)sin(alpha) + i(cos(theta)sin(alpha) + sin(theta)cos(alpha)) = cos(theta + alpha) + isin(theta + alpha)$
Vì phần thực phải bằng phần thực và phần ảo phải bằng phần ảo, ta suy ra hai phương trình sau:
$cos(theta)cos(alpha) – sin(theta)sin(alpha) = cos(theta + alpha)$
$cos(theta)sin(alpha) + sin(theta)cos(alpha) = sin(theta + alpha)$
4. Suy ra công thức trừ
Để có được công thức trừ, ta thay $alpha = -phi$. Lưu ý rằng $sin(-theta) = -sin(theta)$ và $cos(-theta) = cos(theta)$, ta có:
$cos(theta – phi) = cos(theta)cos(-phi) – sin(theta)sin(-phi) = cos(theta)cos(phi) + sin(theta)sin(phi)$
$sin(theta – phi) = cos(theta)sin(-phi) + sin(theta)cos(-phi) = -cos(theta)sin(phi) + sin(theta)cos(phi)$
Chỉnh sửa để loại bỏ việc sử dụng $sin(theta + alpha)$ trực tiếp:
Ta xét biểu thức $e^{i(theta-alpha)}$:
$e^{i(theta-alpha)} = e^{itheta – ialpha} = e^{itheta} cdot e^{-ialpha}$
Khai triển và áp dụng công thức Euler:
$e^{itheta} cdot e^{-ialpha} = (cos(theta) + isin(theta)) cdot (cos(-alpha) + isin(-alpha))$
$= cos(theta)cos(-alpha) – sin(theta)sin(-alpha) + i(cos(theta)sin(-alpha) + sin(theta)cos(-alpha))$
Sử dụng các tính chất của $sin$ và $cos$ với góc âm:
$= cos(theta)cos(alpha) + sin(theta)sin(alpha) + i(-cos(theta)sin(alpha) + sin(theta)cos(alpha))$
Đồng thời, ta có:
$e^{i(theta – alpha)} = cos(theta – alpha) + isin(theta – alpha)$
Đồng nhất hai vế:
$cos(theta)cos(alpha) + sin(theta)sin(alpha) + i(-cos(theta)sin(alpha) + sin(theta)cos(alpha)) = cos(theta – alpha) + isin(theta – alpha)$
Suy ra:
$cos(theta – alpha) = cos(theta)cos(alpha) + sin(theta)sin(alpha)$
$sin(theta – alpha) = -cos(theta)sin(alpha) + sin(theta)cos(alpha)$
II. Chứng minh bằng hình học trực quan
Phương pháp này sử dụng cách xây dựng hình học để chứng minh công thức $sin(beta + delta)$.
1. Xây dựng tam giác
Ta bắt đầu bằng cách xây dựng ba tam giác vuông. Hai tam giác đầu tiên được đặt sao cho cạnh huyền của tam giác thứ nhất trùng với cạnh đáy của tam giác thứ hai. Tam giác thứ ba được xây dựng từ đỉnh trên của tam giác thứ hai đến cạnh đáy của tam giác thứ nhất, tạo thành một đường vuông góc.
Our constructed triangles
Mục tiêu của chúng ta là tìm $sin(beta + delta)$, được biểu diễn bằng tỷ lệ $frac{overline{DE}}{overline{DA}}$.
2. Chuẩn hóa về đường tròn đơn vị
Để đơn giản hóa, ta giả sử $overline{DA}$ là bán kính của một đường tròn đơn vị, tức là có độ dài bằng 1. Khi đó, $sin(beta + delta) = frac{overline{DE}}{1} = overline{DE}$.
3. Chia nhỏ $overline{DE}$
Ta kẻ một đường thẳng từ điểm C vuông góc với $overline{DE}$ để chia $overline{DE}$ thành hai đoạn: $overline{DF}$ và $overline{FE}$. Lưu ý rằng $overline{FE} = overline{CB}$. Do đó:
$sin(beta + delta) = overline{DE} = overline{DF} + overline{FE} = overline{DF} + overline{CB}$
4. Biểu diễn $overline{CB}$
Từ tam giác vuông, ta có $sin(delta) = frac{overline{CB}}{overline{CA}}$, suy ra $overline{CB} = sin(delta) cdot overline{CA}$.
Trong tam giác vuông lớn, $cos(beta) = frac{overline{CA}}{overline{DA}}$. Vì $overline{DA} = 1$, nên $overline{CA} = cos(beta)$.
Thay vào biểu thức của $overline{CB}$: $overline{CB} = sin(delta)cos(beta)$.
5. Biểu diễn $overline{DF}$
Ta cần tìm $overline{DF}$. Sử dụng tam giác vuông nhỏ, ta có $overline{DF} = cos(angle FDC) cdot overline{DC}$.
Qua phân tích các góc trong hình, ta xác định được $angle FDC = delta$.
Mặt khác, $overline{DC} = sin(beta)$.
Do đó, $overline{DF} = cos(delta) cdot sin(beta)$.
6. Hoàn thiện công thức
Thay các biểu thức của $overline{DF}$ và $overline{CB}$ vào phương trình cho $sin(beta + delta)$:
$sin(beta + delta) = cos(delta)sin(beta) + sin(delta)cos(beta)$
Để có công thức trừ, ta thay $beta = -phi$:
$sin(delta – phi) = cos(delta)sin(-phi) + sin(delta)cos(-phi)$
$sin(delta – phi) = -cos(delta)sin(phi) + sin(delta)cos(phi)$
