Dãy số theo quy luật là một dạng toán phổ biến trong chương trình Toán lớp 4, đòi hỏi học sinh phải nắm vững công thức và có khả năng phân tích quy luật của các số. Hiểu rõ dạng toán này không chỉ giúp các em giải quyết tốt các bài tập trên lớp mà còn là nền tảng quan trọng để tiếp cận các dạng toán nâng cao, rèn luyện tư duy logic và khả năng suy luận. Bài viết này sẽ cung cấp công thức cơ bản và các bài tập thực hành giúp học sinh lớp 4 làm quen và chinh phục dạng toán tìm số hạng thứ n của dãy số theo quy luật.
I. Công thức tìm số hạng thứ n của dãy số theo quy luật
Để xác định số hạng thứ n trong một dãy số có quy luật, chúng ta cần áp dụng các công thức sau đây, tùy thuộc vào việc ta đang tìm số hạng cuối hay số hạng đầu của dãy:
1. Tìm số hạng cuối (số hạng thứ n khi biết số đầu và khoảng cách)
Công thức: Số hạng thứ n = Số đầu + Khoảng cách x (n – 1)
Trong đó:
- Số hạng thứ n: Là giá trị của số hạng mà chúng ta cần tìm.
- Số đầu: Là giá trị của số hạng đầu tiên trong dãy.
- Khoảng cách: Là hiệu số giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy (ví dụ: trong dãy 1, 3, 5, 7…, khoảng cách là 2).
- n: Là vị trí của số hạng cần tìm (ví dụ: tìm số hạng thứ 20 thì n = 20).
Ví dụ 1: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, …
Hỏi số hạng thứ 20 của dãy là số nào?
- Phân tích:
- Số đầu: 1
- Khoảng cách: 3 – 1 = 2
- n = 20
- Áp dụng công thức:
Số hạng thứ 20 = 1 + 2 x (20 – 1) = 1 + 2 x 19 = 1 + 38 = 39. - Đáp số: Số hạng thứ 20 của dãy là 39.
2. Tìm số hạng đầu (khi biết số cuối và khoảng cách)
Công thức: Số hạng đầu = Số cuối – Khoảng cách x (n – 1)
Trong đó:
- Số hạng đầu: Là giá trị của số hạng đầu tiên trong dãy.
- Số cuối: Là giá trị của số hạng thứ n mà chúng ta đã biết.
- Khoảng cách: Là hiệu số giữa hai số hạng liên tiếp.
- n: Là tổng số các số hạng trong dãy.
Ví dụ 2: Tìm số hạng đầu tiên của dãy số: …, 24, 27, 30
Biết rằng dãy số có 10 số hạng.
- Phân tích:
- Số cuối: 30
- Khoảng cách: 27 – 24 = 3
- n = 10
- Áp dụng công thức:
Số hạng đầu = 30 – 3 x (10 – 1) = 30 – 3 x 9 = 30 – 27 = 3. - Đáp số: Số hạng đầu tiên của dãy là 3.
II. Bài tập toán tìm số hạng thứ n của dãy số theo quy luật
Dưới đây là một số bài tập thực hành giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán:
Bài 1: Tìm số hạng thứ 300 của dãy: 1; 3; 7; 13; 21; 31; …
- Hướng dẫn:
- Nhận xét quy luật:
- Số thứ nhất: 1 = 1 + 0 x 1
- Số thứ hai: 3 = 1 + 1 x 2
- Số thứ ba: 7 = 1 + 2 x 3
- Số thứ tư: 13 = 1 + 3 x 4
- …
- Quy luật: Mỗi số hạng bằng 1 cộng với tích của số thứ tự của nó nhân với số liền trước số thứ tự của nó.
- Áp dụng: Số thứ 300 = 1 + 300 x 299 = 1 + 89700 = 89701.
- Nhận xét quy luật:
Bài 2: Cho dãy số : 1, 3, 5, 7, …
Hỏi số hạng thứ 50 của dãy là số nào?
- Phân tích:
- Đây là dãy số lẻ, số đầu là 1, khoảng cách là 2, n = 50.
- Áp dụng công thức: Số hạng thứ 50 = 1 + 2 x (50 – 1) = 1 + 2 x 49 = 1 + 98 = 99.
- Đáp số: Số hạng thứ 50 của dãy là 99.
Bài 3: Viết 50 số lẻ, số cuối cùng là 2017. Số đầu tiên là số nào?
- Phân tích:
- Dãy số lẻ, khoảng cách giữa hai số lẻ liên tiếp là 2, n = 50, số cuối là 2017.
- Áp dụng công thức: Số đầu tiên = 2017 – 2 x (50 – 1) = 2017 – 2 x 49 = 2017 – 98 = 1919.
- Đáp số: Số đầu tiên là 1919.
Bài 4: Số hạng thứ 200 của dãy 1, 4, 7, 10, 13 ….
- Phân tích:
- Số đầu là 1, khoảng cách là 3, n = 200.
- Cách 1: Số thứ 200 = 1 + 3 x (200 – 1) = 1 + 3 x 199 = 1 + 597 = 598.
- Cách 2: Quy luật là số liền sau bằng số liền trước cộng thêm 3. Có 199 khoảng cách từ số thứ nhất đến số thứ 200. Vậy số thứ 200 = 1 + 199 x 3 = 598.
- Đáp số: Số hạng thứ 200 là 598.
Bài 5: Tìm số thứ 100 của dãy số sau: 4, 8, 12, 16,…
- Phân tích:
- Số đầu là 4, khoảng cách là 4, n = 100.
- Cách 1: Số thứ 100 = 4 x 100 = 400. (Quy luật: số thứ tự nhân với 4).
- Cách 2: Số thứ 100 = 4 + 4 x (100 – 1) = 4 + 4 x 99 = 4 + 396 = 400.
- Đáp số: Số thứ 100 là 400.
Bài 6: Viết 20 số lẻ, số cuối cùng là 2001. Số đầu tiên là số nào?
- Phân tích:
- Dãy số lẻ, khoảng cách là 2, n = 20, số cuối là 2001.
- Áp dụng công thức: Số đầu tiên = 2001 – 2 x (20 – 1) = 2001 – 2 x 19 = 2001 – 38 = 1963.
- Đáp số: Số đầu tiên là 1963.
Bài 7: Cho dãy số: 1; 2,2; 3,4; ……; 13; 14,2.
Nếu viết tiếp thì số 34,6 có thuộc dãy số trên không?
- Phân tích:
- Nhận xét khoảng cách giữa các số hạng liên tiếp: 2,2 – 1 = 1,2; 3,4 – 2,2 = 1,2; …
- Quy luật: Mỗi số hạng sau hơn số hạng liền trước 1,2 đơn vị.
- Kiểm tra số 34,6: (34,6 – 1) : 1,2 = 33,6 : 1,2 = 28. Phép chia này cho kết quả là số nguyên, không có dư.
- Kết luận: Số 34,6 thuộc dãy số trên.
III. Bài tập tự luyện
Để nâng cao kỹ năng, học sinh có thể luyện tập thêm với các bài tập sau:
Bài 1: Cho dãy số: 3, 8, 13, 23, ……, 2008
Tìm xem dãy số có bao nhiêu số hạng?
Bài 2: Tìm số số hạng của các dãy số sau:
a. 1, 4, 7, 10, ……, 1999.
b. 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; … ; 108,9 ; 110,0.
Việc nắm vững công thức và luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em học sinh lớp 4 tự tin giải quyết các bài toán về dãy số theo quy luật, phát triển khả năng tư duy toán học một cách hiệu quả.
