Tỷ Số Thể Tích Nước Còn Lại Trong Cốc Sau Khi Thả Bi và Nón

Bài toán đặt ra một tình huống thú vị liên quan đến hình học không gian: một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, sau đó người ta thả một viên bi và một khối nón vào, khiến nước tràn ra ngoài. Yêu cầu là tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc so với lượng nước ban đầu. Đây là bài toán yêu cầu áp dụng công thức tính thể tích các khối hình học cơ bản và suy luận logic.

I. Phân tích bài toán và phương pháp giải

1. Phân tích đề bài

Đối tượng: Cốc nước hình trụ, viên bi hình cầu, khối nón.
Thông số:
- Cốc nước: Chiều cao gấp 3 lần đường kính đáy.
- Viên bi: Đường kính bằng đường kính đáy cốc.
- Khối nón: Được làm bằng thủy tinh.
- Quá trình: Thả bi và nón vào cốc nước đầy, nước tràn ra ngoài.
Yêu cầu: Tính tỉ số thể tích nước còn lại / thể tích nước ban đầu.

2. Thiết lập các đại lượng

Gọi:

$r$ là bán kính đáy cốc nước.
$h$ là chiều cao cốc nước.

Theo đề bài, chiều cao cốc nước gấp 3 lần đường kính đáy, nên:
$h = 3 times (2r) = 6r$.

Đường kính viên bi bằng đường kính đáy cốc, suy ra bán kính viên bi là $r$.

3. Công thức thể tích cần sử dụng

Thể tích cốc nước hình trụ: $V_{trụ} = pi r^2 h$
Thể tích viên bi hình cầu: $V_{bi} = frac{4}{3} pi r^3$
Thể tích khối nón: $V_{nón} = frac{1}{3} pi R^2 H$, với $R$ là bán kính đáy nón và $H$ là chiều cao nón.

Trong bài toán này, hình vẽ minh họa cho thấy khối nón có cùng bán kính đáy và chiều cao với cốc nước. Do đó:

Bán kính đáy nón: $R = r$
Chiều cao nón: $H = h = 6r$

Suy ra thể tích khối nón là:
$V_{nón} = frac{1}{3} pi r^2 (6r) = 2 pi r^3$.

Tuy nhiên, nhìn vào hình vẽ và cách người ta thường ra đề bài dạng này, có khả năng khối nón có đường kính đáy và chiều cao bằng với đường kính đáy và chiều cao của cốc nước. Nếu theo đúng hình vẽ thì:

Bán kính đáy nón: $R = r$
Chiều cao nón: $H = h = 6r$
Thể tích khối nón: $V_{nón} = frac{1}{3} pi r^2 (6r) = 2pi r^3$.

Một cách hiểu khác, dựa vào một số bài toán tương tự, là đường kính nón và chiều cao nón có thể bằng với đường kính và chiều cao của cốc. Nếu vậy:

Bán kính đáy nón: $R = r$
Chiều cao nón: $H = h = 6r$.
Thể tích nón: $V_{nón} = frac{1}{3} pi r^2 (6r) = 2pi r^3$.

Quan trọng: Dựa vào hình ảnh đính kèm (hình 1 và 2), ta thấy khối nón có bán kính đáy bằng bán kính cốc ($r$) và chiều cao bằng chiều cao cốc ($h=6r$).

Lưu ý: Một số bài toán có thể cho đường kính đáy nón bằng đường kính cốc và chiều cao nón cũng bằng đường kính cốc, hoặc các tỉ lệ khác. Tuy nhiên, với thông tin “chiều cao bằng 3 lần đường kính của đáy” cho cốc và hình vẽ, ta giả định nón có cùng bán kính đáy và chiều cao với cốc.

II. Tính toán thể tích

1. Thể tích ban đầu của nước

Vì cốc nước chứa đầy nước ban đầu, thể tích nước ban đầu bằng thể tích của cốc hình trụ:
$V{nước_ban_đầu} = V{trụ} = pi r^2 h = pi r^2 (6r) = 6pi r^3$.

2. Thể tích phần nước bị tràn ra

Khi thả viên bi và khối nón vào cốc, phần nước tràn ra ngoài chính là thể tích của phần vật thể chìm trong nước. Do viên bi và khối nón đều bằng thủy tinh và chìm hoàn toàn, thể tích phần nước tràn ra bằng tổng thể tích của viên bi và khối nón.

Thể tích viên bi: $V_{bi} = frac{4}{3} pi r^3$.
Thể tích khối nón: $V_{nón} = 2 pi r^3$.

Tổng thể tích vật thể là:
$V{vật_thể} = V{bi} + V_{nón} = frac{4}{3} pi r^3 + 2 pi r^3 = (frac{4}{3} + frac{6}{3}) pi r^3 = frac{10}{3} pi r^3$.

Lượng nước tràn ra ngoài chính là thể tích này:
$V{nước_tràn} = V{vật_thể} = frac{10}{3} pi r^3$.

3. Thể tích lượng nước còn lại trong cốc

Thể tích nước còn lại trong cốc bằng thể tích ban đầu trừ đi thể tích nước đã tràn ra:
$V{nước_còn_lại} = V{nước_ban_đầu} – V{nước_tràn}$
$V{nước_còn_lại} = 6pi r^3 – frac{10}{3} pi r^3 = (frac{18}{3} – frac{10}{3}) pi r^3 = frac{8}{3} pi r^3$.

III. Tính tỉ số thể tích

Tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu là:
$$ frac{V{nước_còn_lại}}{V{nước_ban_đầu}} = frac{frac{8}{3} pi r^3}{6 pi r^3} $$
$$ frac{V{nước_còn_lại}}{V{nước_ban_đầu}} = frac{frac{8}{3}}{6} = frac{8}{3 times 6} = frac{8}{18} = frac{4}{9} $$