Trong toán học, việc nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn. Một trong những công thức quen thuộc là đạo hàm của hàm số (frac{1}{x}). Bài viết này sẽ trình bày công thức này và đi sâu vào phân tích một số bài toán tiêu biểu liên quan đến lượng giác và hình học không gian, giúp bạn đọc củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.
I. Công thức đạo hàm của (frac{1}{x})
Đạo hàm của hàm số (f(x) = frac{1}{x}) được tính như sau:
(f'(x) = left( {frac{1}{x}} right)^prime = – frac{1}{{{x^2}}})
Công thức này rất quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các bài tập về đạo hàm.
II. Bài toán Lượng giác
Bài toán 1: Xác định dấu của các biểu thức lượng giác
Đề bài: Cho góc (a in (90^circ; 180^circ)). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. sin a và cot a cùng dấu;
B. Tích sin a.cot a mang dấu âm;
C. Tích sin a.cos a mang dấu dương;
D. sin a và tan a cùng dấu.
Phân tích và Lời giải:
Với góc (a) thuộc góc phần tư thứ hai ((90^circ; 180^circ)), ta có các giá trị lượng giác:
- (sin a > 0)
- (cos a < 0)
- (tan a < 0)
- (cot a < 0)
Bây giờ, chúng ta sẽ xét từng khẳng định:
- A. sin a và cot a cùng dấu: (sin a > 0) và (cot a < 0). Chúng trái dấu. Khẳng định A sai.
- B. Tích sin a.cot a mang dấu âm: (sin a > 0) và (cot a < 0). Tích của một số dương và một số âm là một số âm. Khẳng định B đúng.
- C. Tích sin a.cos a mang dấu dương: (sin a > 0) và (cos a < 0). Tích của một số dương và một số âm là một số âm. Khẳng định C sai.
- D. sin a và tan a cùng dấu: (sin a > 0) và (tan a < 0). Chúng trái dấu. Khẳng định D sai.
Đáp án đúng là B.
III. Bài toán Hình học không gian
Bài toán 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Đề bài: Cho hình chóp tam giác (ABC.SA) có đáy (ABC) là tam giác vuông cân tại (C). (SA) vuông góc với mặt đáy ((ABC)). (AC = BC = 3a). Tính khoảng cách từ (B) đến mặt phẳng ((SAC)).
Phân tích và Lời giải:
Theo giả thiết, ta có:
- Tam giác (ABC) vuông cân tại (C) nên (BC perp AC).
- (SA perp (ABC)) suy ra (SA perp BC).
Từ (BC perp AC) và (SA perp BC), kết hợp với (AC) và (SA) cắt nhau tại (A), ta suy ra (BC perp (SAC)).
Do (BC perp (SAC)) nên khoảng cách từ điểm (B) đến mặt phẳng ((SAC)) chính là độ dài đoạn thẳng (BC).
Theo đề bài, (BC = 3a).
Cấu trúc hình học không gian
Vậy, khoảng cách từ (B) đến mặt phẳng ((SAC)) bằng (3a).
IV. Lưu ý về việc truy cập lời giải chi tiết
Một số bài toán có thể yêu cầu đăng ký gói VIP để xem lời giải chi tiết. Đây là cơ chế hoạt động của các nền tảng học tập trực tuyến, nhằm cung cấp nội dung chất lượng cao và hỗ trợ người dùng tốt nhất. Để tiếp cận đầy đủ các bài tập và lời giải, bạn có thể cân nhắc nâng cấp tài khoản.
