Hình bình hành là một tứ giác đặc biệt với nhiều tính chất quan trọng, đóng vai trò nền tảng trong chương trình Toán học lớp 8. Nắm vững định nghĩa, tính chất và các dấu hiệu nhận biết hình bình hành sẽ giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài tập liên quan, đồng thời tạo đà để chinh phục các kiến thức hình học nâng cao hơn. Bài viết này cung cấp một cái nhìn toàn diện về hình bình hành, bao gồm công thức tính chu vi, diện tích và các bài tập vận dụng có giải chi tiết.
I. Lý Thuyết Hình Bình Hành
1. Định Nghĩa
Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau.
Xét tứ giác ABCD là hình bình hành.
2. Tính Chất
Trong một hình bình hành, các cặp cạnh đối và các cặp góc đối bằng nhau. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Cụ thể:
- Cạnh đối: AB = CD; AD = BC.
- Góc đối: Góc A = Góc C; Góc B = Góc D.
- Đường chéo: Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường, nghĩa là OA = OC và OB = OD.
3. Dấu Hiệu Nhận Biết
Có năm dấu hiệu cơ bản để nhận biết một tứ giác có phải là hình bình hành hay không:
- Tứ giác có các cạnh đối song song.
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau.
- Tứ giác có các góc đối bằng nhau.
- Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song, vừa bằng nhau.
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
4. Công Thức Tính Chu Vi và Diện Tích
a) Chu vi:
Chu vi của hình bình hành được tính bằng công thức:
$C = (a + b) times 2$
Trong đó:
- $C$ là chu vi.
- $a$ và $b$ là độ dài hai cạnh kề nhau của hình bình hành.
b) Diện tích:
Diện tích của hình bình hành được tính bằng công thức:
$S = a times h$
Trong đó:
- $S$ là diện tích.
- $a$ là độ dài cạnh đáy.
- $h$ là chiều cao tương ứng với cạnh đáy đó.
II. Bài Tập Về Hình Bình Hành
Dưới đây là một số bài tập điển hình về hình bình hành, kèm theo lời giải chi tiết để học sinh có thể tham khảo và luyện tập.
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
a) BE = DF và góc ABE = góc CDF.
b) BE // DF
Lời giải:
a) Vì E là trung điểm của AD và F là trung điểm của BC, đồng thời AD = BC (do ABCD là hình bình hành), ta có:
$AE = ED = BF = FC$
Xét tam giác ABE và tam giác CDF có:
- AE = CF (chứng minh trên)
- Góc BAE = Góc DCF (do ABCD là hình bình hành)
- AB = CD (do ABCD là hình bình hành)
Do đó, $triangle ABE = triangle CDF$ (c.g.c)
Suy ra: BE = DF (hai cạnh tương ứng) và Góc ABE = Góc CDF (hai góc tương ứng).
b) Xét tứ giác EBFD có:
- DE = BF (chứng minh trên)
- DE // BF (do AD // BC)
Do đó, tứ giác EBFD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết: tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song, vừa bằng nhau).
Suy ra: BE // DF.
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD tại H và K. Chứng minh rằng tứ giác AHCK là hình bình hành.
Lời giải:
Vì ABCD là hình bình hành, ta có AD // BC. Do đó, góc ADB = góc KBC (hai góc so le trong).
Ta có:
- Tam giác AHD vuông tại H.
- Tam giác CKB vuông tại K.
Xét tam giác AHD và tam giác CKB có:
- AD = CB (do ABCD là hình bình hành)
- Góc ADH = Góc CBK (chứng minh trên)
Do đó, $triangle AHD = triangle CKB$ (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra: AH = CK (hai cạnh tương ứng).
Xét tứ giác AHCK có:
- AH = CK (chứng minh trên)
- AH // CK (cùng vuông góc với BD)
Do đó, tứ giác AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết: tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song, vừa bằng nhau).
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, AD và I, K là trung điểm của các đường chéo AC, BD. Chứng minh:
a) Tứ giác MNPQ, INKQ là hình bình hành.
b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng quy.
Lời giải:
a)
- Xét $triangle ABD$, có MQ là đường trung bình nên $MQ = frac{1}{2} BD$ và $MQ // BD$.
- Xét $triangle BCD$, có PN là đường trung bình nên $PN = frac{1}{2} BD$ và $PN // BD$.
Từ đó, suy ra $MQ = PN$ và $MQ // PN$. Do đó, tứ giác MNPQ là hình bình hành.
- Xét $triangle BAD$, có QK là đường trung bình nên $QK = frac{1}{2} BD$ và $QK // BD$.
- Xét $triangle ABC$, có NI là đường trung bình nên $NI = frac{1}{2} AC$ và $NI // AC$.
Do đó, $QK = frac{1}{2} BD$.
Xét tứ giác QKNI có QK // BD và NI // AC.
Ta cần chứng minh QKNI là hình bình hành.
-
Ta có $MQ // BD$, $PN // BD$ nên $MQ // PN$.
-
Ta có $MQ = frac{1}{2} BD$, $PN = frac{1}{2} BD$ nên $MQ = PN$.
Vậy MNPQ là hình bình hành. -
Xét $triangle ABD$, QK là đường trung bình $Rightarrow QK // BD$ và $QK = frac{1}{2} BD$.
-
Xét $triangle ABC$, NI là đường trung bình $Rightarrow NI // AC$ và $NI = frac{1}{2} AC$.
Trong hình bình hành MNPQ, MP và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Ta có QK là đường trung bình của $triangle ABD$, suy ra $QK // BD$ và $QK = frac{1}{2} BD$.
Ta có NI là đường trung bình của $triangle ABC$, suy ra $NI // AC$ và $NI = frac{1}{2} AC$.
Vì MNPQ là hình bình hành, hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Vì QKNI là hình bình hành (do $QK = NI$ và $QK // NI$ nếu xét $triangle BCD$ và $triangle ABC$ để chứng minh), hai đường chéo QN và KI cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Do đó, NQ, MP và IK đều đi qua trung điểm của các đường chéo, suy ra chúng đồng quy.
Tài Liệu Tham Khảo
- VietJack.com – Công thức hình bình hành Toán lớp 8.
- VietJack.com – Bộ giáo án, đề thi tốt nghiệp THPT, ĐGNL các trường.
Hãy tải ứng dụng VietJack trên Android và iOS để tra cứu bài tập, soạn văn, văn mẫu và tham gia thi online miễn phí.
Theo dõi VietJack trên Facebook và YouTube để cập nhật kiến thức mới nhất.
